[ADP 필기 요약]_4과목 데이터 분석_⑦

1. 시계열 분석

1-1. 정상성(Stationarity)

시계열 분석에서 가장 먼저 확인해야 하는 개념이 바로 정상성
정상성이란, 시간이 지나도 시계열의 통계적 성질이 일정하게 유지되는 것

 

✅ 정상성의 조건

1. 평균이 일정하다
   • 모든 시점에서 평균이 일정해야 함
   • 평균이 시간에 따라 변하면 비정상 시계열로 봄
   • 이런 경우 차분(differencing) 을 통해 정상화할 수 있음
2. 분산이 일정하다
   • 시간에 따라 분산이 달라지면 비정상 시계열
   • 이 경우 로그변환, 제곱근변환 등의 변환(transform) 을 통해 안정화할 수 있
3. 공분산이 시차(lag)에만 의존한다
   • 공분산은 시점 ttt, sss 그 자체가 아니라 두 시점의 차이인 시차에만 의존해야 합니다.

✅ 정상 시계열의 특징

• 특정 시점의 값 자체가 항상 같다는 뜻은 아님
• 중요한 것은 평균, 분산, 공분산 같은 통계적 특성이 시간에 따라 일정하다는 점
• 보통 평균 주변에서 일정한 변동폭을 보이며, 장기적으로는 평균으로 회귀하는 성향을 가짐

주의
“정상 시계열은 어떠한 시점에서든 동일한 값을 가진다”는 표현은 틀립니다.
정상성은 “값이 동일”한 것이 아니라 “통계적 성질이 일정”한 것입니다.

 

 

1-2. 시계열 자료의 분석 방법

시계열 자료는 분석 대상과 목적에 따라 여러 방법으로 나눌 수 있음

 

✅ 자료 형태에 따른 구분

• 일변량 시계열 분석: 하나의 시계열 변수만 이용
• 다변량 시계열 분석: 두 개 이상의 시계열 변수를 함께 이용

 

✅ 이동평균법(Moving Average)

최근 k개의 관측값 평균으로 미래 값을 예측하는 방법

 

특징

• 계산이 간단하고 이해하기 쉽습니다.
• 데이터가 많고 비교적 안정적인 패턴을 보일 때 유용합니다.
• 특정 기간 내 관측값에 동일한 가중치를 부여합니다.

한계

• 가장 최근 데이터의 변화가 충분히 반영되지 않을 수 있습니다.
• 급격한 추세 변화에 민감하게 대응하기 어렵습니다.

 

✅ 지수평활법(Exponential Smoothing)

최근 데이터에 더 큰 가중치를 주는 예측 방법

 

특징

• 이동평균법의 단점을 보완한 방법
• 오래된 데이터보다 최근 데이터에 더 높은 비중을 둠
• 단기 예측에서 자주 활용

 

1-3. 시계열 모형

시계열 모형은 과거 값 또는 과거 오차를 이용해 현재 값을 설명하는 모형입니다.

 

✅ 자기회귀모형 AR(Autoregressive Model)

현재 값이 자기 자신의 과거 값들에 의해 설명되는 모형입니다.

X(t) = c + phi1 * X(t-1) + phi2 * X(t-2) + ... + phip * X(t-p) + e(t)

 

핵심 개념

• p시점 전까지의 값이 현재 값에 영향을 준다
• 즉, 현재 값이 과거 값들의 선형결합으로 표현됩니다.

ACF / PACF 패턴

• ACF: 점진적으로 감소(tail off)
• PACF: p시차 이후 절단(cut off)

 

✅ 이동평균모형 MA(Moving Average Model)

현재 값이 과거 오차항(백색잡음) 의 결합으로 설명되는 모형

X(t) = mu + e(t) + theta1 * e(t-1) + theta2 * e(t-2) + ... + thetaq * e(t-q)

 

핵심 개념

• 현재 값은 과거 관측값이 아니라 과거 예측오차의 영향을 받음

ACF / PACF 패턴

• ACF: q시차 이후 절단
• PACF: 점진적으로 감소

 

✅ 자기회귀이동평균모형 ARMA(p, q)

정상 시계열에 대해, 과거 값(AR)과 과거 오차(MA)를 함께 이용하는 모형

X(t) = c + phi1 * X(t-1) + ... + phip * X(t-p) + e(t) + theta1 * e(t-1) + ... + thetaq * e(t-q)

 

특징

• 정상 시계열에 적용
• AR과 MA의 성질을 동시에 가짐

ACF / PACF 패턴

• ACF, PACF 모두 점진적으로 감소
• 명확한 절단점이 없는 경우가 많습니다.

 

✅ 자기회귀누적이동평균모형 ARIMA(p, d, q)

비정상 시계열을 차분하여 정상 시계열로 만든 뒤, ARMA 모형을 적용한 것이 ARIMA

• p: 자기회귀 차수
• d: 차분 차수
• q: 이동평균 차수

해석

• d = 0 이면 ARIMA(p,0,q) = ARMA(p,q)
• p = 0 이면 차분 후 MA(q) 모형
• q = 0 이면 차분 후 AR(p) 모형

예시

• ARIMA(0,1,1)
  → 1차 차분 후 MA(1) 적용
• ARIMA(1,1,0)
  → 1차 차분 후 AR(1) 적용
• ARIMA(1,1,2)
  → 1차 차분 후 ARMA(1,2) 적용

모형 선택
후보 모형이 여러 개라면 일반적으로 AIC, BIC 등의 정보기준을 비교하여 선택
보통 값이 더 작은 모형을 더 적합한 모형으로 봄

 

✅ ACF와 PACF

ARIMA 모형의 차수를 결정할 때 중요한 도구가 ACF와 PACF임

 

ACF(Autocorrelation Function, 자기상관함수)

• 시차 k만큼 떨어진 두 시계열 값의 상관관계를 나타냄.

PACF(Partial Autocorrelation Function, 부분자기상관함수)

• 중간 시차의 영향을 제거한 뒤, 순수하게 남는 자기상관을 나타냄.

모형별 패턴 정리

모형	ACF	PACF
AR(p)	점진적 감소	p 이후 절단
MA(q)	q 이후 절단	점진적 감소
ARMA(p,q)	점진적 감소	점진적 감소

 

시험에서는
“ACF가 절단되고 PACF가 서서히 감소하면 MA”,
“PACF가 절단되고 ACF가 서서히 감소하면 AR”
이 패턴을 자주 묻습니다.

 

 

1-4. 분해 시계열(Decomposition)

시계열은 보통 하나의 패턴만 있는 것이 아니라, 여러 요인이 합쳐져 나타남.
이를 각각 분리해서 보는 방법이 분해 시계열 분석

 

✅ 시계열의 구성요소

요인	설명
추세요인(Trend)	장기적으로 증가하거나 감소하는 경향
계절요인(Seasonal)	일정한 주기(월, 분기, 요일 등)에 따라 반복되는 변동
순환요인(Cyclical)	경기 변동처럼 비교적 긴 주기로 반복되지만 주기가 고정적이지 않은 변동
불규칙요인(Irregular)	위 요인들로 설명되지 않는 우연적 변동

참고

• 계절성은 비교적 고정된 주기가 존재
• 순환성은 반복되더라도 주기가 일정하지 않을 수 있음

 

1-5. ARIMA 모형 정리 포인트

1. ARIMA는 비정상 시계열을 차분해 정상화한 뒤 적용한다.
2. 정상 시계열이면 ARMA 모형으로 볼 수 있다.
3. ACF와 PACF 패턴으로 p, q를 추정한다.
4. 차분 횟수는 d에 해당한다.
5. 후보 모형은 AIC/BIC로 비교 선택한다.

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2. 다차원 척도법(MDS)

2-1. 다차원 척도법의 개념

다차원 척도법(MDS, Multidimensional Scaling)은 객체들 사이의 유사성 또는 비유사성을 거리로 표현하고, 이를 2차원 또는 3차원 공간에 시각화하는 기법.

즉, 여러 대상들 간의 “가깝고 멀다”는 관계를 눈으로 보기 쉽게 지도처럼 펼쳐주는 방법

 

목적

• 개체 간 비유사성 구조를 파악
• 집단화 경향을 시각적으로 확인
• 고차원 정보를 저차원 공간에 표현

2-2. MDS의 기본 아이디어

예를 들어 브랜드 간 소비자 인식 조사를 했다고 가정

• 서로 비슷하게 느껴지는 브랜드끼리는 가깝게
• 차이가 크다고 느껴지는 브랜드는 멀게

2차원 평면 위에 점으로 나타내면, 브랜드 포지셔닝을 직관적으로 파악할 수 있음

 

2-3. 분석 절차와 기준

 

✅ 거리 또는 비유사성 행렬 구성

• 객체 간 거리 또는 비유사성 자료를 사용합니다.
• 경우에 따라 유클리드 거리를 사용할 수 있지만, MDS가 반드시 유클리드 거리만 쓰는 것은 아닙니다.
• 핵심은 객체 간 근접성(proximity) 정보입니다.

✅ 저차원 공간에 배치

• 원래의 거리 관계를 최대한 유지하도록 각 객체를 2차원 또는 3차원 공간에 배치합니다.

✅ 적합도 평가

• 대표적으로 STRESS 또는 S-STRESS를 사용합니다.
• STRESS 값이 작을수록 원래 거리 구조를 더 잘 반영한 것입니다.

 

2-4. MDS의 종류

 

✅ 계량적 MDS(Metric MDS)

• 데이터가 구간척도 또는 비율척도일 때 사용
• 실제 거리값의 크기 자체가 의미를 가짐
• 거리의 수치적 관계를 최대한 보존

✅ 비계량적 MDS(Non-metric MDS)

• 데이터가 순서척도일 때 사용
• 거리의 정확한 크기보다 순위 정보가 중요
• 단조변환(monotone transformation)을 이용해 거리 구조를 반영

2-5. 시험 포인트

• MDS는 차원 축소 + 시각화 목적의 기법이다.
• 입력 자료는 보통 유사성/비유사성 행렬이다.
• 적합도 평가지표로 STRESS가 자주 출제된다.
• 계량적 MDS는 거리값 자체, 비계량적 MDS는 순서 정보를 중시한다.

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3. 주성분 분석(PCA)

3-1. 주성분 분석의 개념

주성분 분석(PCA, Principal Component Analysis)은 여러 변수들의 정보를 최대한 유지하면서, 서로 상관된 변수들을 소수의 새로운 변수(주성분)로 축소하는 기법. 즉, 정보 손실을 최소화하면서 차원을 줄이는 방법

 

✅ 핵심 아이디어

• 원래 변수들이 서로 상관되어 있으면 정보가 중복될 수 있음
• 이 중복 정보를 줄여서, 서로 상관이 없는 새로운 축(주성분) 으로 재표현

✅ 주성분의 성질

• 각 주성분은 원래 변수들의 선형결합
• 주성분끼리는 서로 직교(orthogonal) 하며, 상관이 없음
• 다만 “서로 독립”이라고까지 일반화하는 것은 주의가 필요합니다.정확히는 비상관(uncorrelated) 이라고 보는 것이 맞음

✅ PCA의 목적

1. 차원 축소
   • 많은 변수를 소수의 주성분으로 줄여 해석을 쉽게 함
2. 정보 요약
   • 전체 변동을 잘 설명하는 핵심 축만 남김
3. 다중공선성 완화
   • 상관성이 높은 설명변수들을 주성분으로 바꿔 회귀분석에 활용 가능
4. 군집분석 전처리
   • 차원을 줄여 계산 속도를 높이고 군집화 결과를 개선하는 데 도움

✅ PCA에서 표준화가 중요한 이유

• 주성분 분석은 분산이 큰 변수의 영향을 크게 받음. 따라서 변수들의 단위나 크기가 다르면 반드시 표준화를 고려해야 함

예를 들어,

• 소득(단위: 만 원)
• 나이(단위: 세)
• 구매횟수(단위: 회)

처럼 단위가 다르면 소득 변수의 분산이 지나치게 크게 작용할 수 있음

따라서 PCA에서는 보통 표준화 후 상관행렬 기반 분석을 많이 사용합니다.

 

3-2. 주성분 분석과 요인분석의 차이

 

✅ 공통점

• 둘 다 변수 축소에 사용
• 여러 변수를 소수의 새로운 변수로 요약

✅ 차이점

구분	주성분 분석(PCA)	요인분석(FA)
목적	데이터의 분산을 최대한 설명	변수들 뒤에 숨어 있는 잠재요인 탐색
관심 대상	전체 분산	공통분산
결과	주성분	공통요인
해석	차원 축소 중심	잠재구조 해석 중심
오차 개념	명시적으로 분리하지 않음	고유분산/오차를 구분

✅ 요인분석 특징

• 변수들 간 상관관계를 바탕으로 잠재요인(latent factor) 을 추출
• 심리, 만족도, 태도 조사처럼 직접 측정하기 어려운 개념 분석에 자주 사용
• 보통 변수는 간격척도 또는 비율척도가 적절하며, 표본 수는 충분할수록 좋음

3-3. 주성분의 선택 방법

 

✅ 기여율(설명분산비율)

• 각 주성분이 전체 분산을 얼마나 설명하는지 나타남
• 기여율이 클수록 해당 주성분의 설명력이 높음
• 일반적으로 누적기여율을 기준으로 주성분 수를 결정함

많이 사용하는 기준

• 누적기여율 70~90% 수준을 많이 참고
• ADP 정리에서는 85% 이상을 기준으로 자주 외우기도 함

 

다만 85%는 절대적인 기준이라기보다 실무와 교재에서 자주 쓰는 경험적 기준으로 이해하는 것이 좋음

 

 

✅ 스크리 플롯(Scree Plot)

• x축: 주성분 번호
• y축: 고유값(eigenvalue)

고유값이 급격히 감소하다가 완만해지는 지점이 나타나는데, 보통 완만해지기 직전까지의 주성분 수를 선택함

예시

• 3번째부터 그래프가 완만해진다면→ 2개 주성분을 선택

✅ 시험 포인트 정리

 PCA 핵심 출제 포인트

• 변수들의 선형결합으로 새로운 축 생성
• 주성분은 서로 직교, 즉 상관이 없음
• 분산을 최대한 설명하는 방향으로 축을 찾음
• 단위 차이가 크면 표준화 필수
• 차원 축소, 다중공선성 완화, 시각화 전처리에 활용

자주 헷갈리는 부분

• PCA는 분산 설명 중심
• 요인분석은 잠재요인 해석 중심
• PCA의 주성분은 “독립”보다 비상관이라고 표현하는 것이 더 정확

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마무리 정리

• 시계열 분석: 정상성, AR/MA/ARIMA, ACF/PACF 패턴
• 다차원 척도법(MDS): 객체 간 비유사성을 저차원 공간에 시각화
• 주성분 분석(PCA): 분산을 최대한 보존하면서 차원 축소
• AR vs MA vs ARIMA
• ACF vs PACF
• 계량적 MDS vs 비계량적 MDS
• PCA vs 요인분석

✅ 시계열 분석

• AR(p): PACF 절단, ACF 점감
• MA(q): ACF 절단, PACF 점감
• ARIMA: 비정상 → 차분 → 정상화 후 모델링
• 정상성: 평균·분산 일정, 공분산은 시차에만 의존

✅ 다차원 척도법

• 유사성/비유사성 → 2차원 또는 3차원 시각화
• STRESS 작을수록 적합

✅ 주성분 분석

• 변수의 선형결합으로 차원 축소
• 주성분끼리 비상관
• 표준화 고려 필수
• 누적기여율, 스크리 플롯으로 주성분 수 결정